Die Diskontierungsmethode
Heute wollen wir über die Bewertung von Finanzinstrumenten sprechen. Um die Latte nicht zu hoch zu hängen bleiben wir bei der einfachsten Methode der Methode der diskontierten Zahlungen oder im englischen auch: Discounted Cash Flows (DCF). Dies ist zugleich eine einfache, aber universell einsetzbare Methode.
Um die Methode einzuführen bedienen wir uns gleich einiger theoretischer Überlegungen. Allerdings sei hier eines vorweg gesagt. Bewertungsmethoden sind immer mit Modelüberlegungen verbunden und können kein Anspruch auf korrektheit verlangen. Insbesondere kann es vorkommen, dass Marktpreise auch von den vermeintlich besten Bewertungsmodellen abweichen.
Lass uns zunächst über wesentliche Einflüsse auf die Bewertung reden. Folgende Faktoren haben einen Einfluss auf die Bewertung von Investitionen:
- Gibt es einen Referenzpreis? Wenn ja, wie alt ist dieser und sind die Handelsvolumina dieser Preise in der Größenordnung der avisierten Transaktion?Gehen wir mal davon aus wir wollen ein Aktienpaket über 70% des Aktienbestandes eines Unternehmens kaufen, was in unserem hypothetischen Fall 700.000 Aktien entspricht. Leider sind nur 5% des Aktienbestandes im sogenannten Free-Float, werden also von Kleinanlegen gehalten, die entsprechend häufiger Handeln als Großaktionäre. Von den 5% Free-Float Aktien werden täglich ca. 1% an der Börse gehandelt, was 500 Aktien entspricht. Sind die hier gehandelten Preise aussagekräftig für den Preis der bei dieser Transaktion erzielt wird? Kurze Antwort: Nein. Lange Antwort: Jeder Investmentbanker kennt das Problem bei der Veräußerung größerer Aktienpakete. Oft werden vergleichbare Transaktionen angeführt um einen Preis für den Deal zu ermitteln. Allerdings gehen beide Seiten in solchen Verhandlungen oft sehr tief ins Detail, wobei die initiierende Seite oft auf- oder abschläge zu befürchten hat. Der Deal muss dem Gegenüber schließlich Schmackhaft gemacht werden. Warum werden die Anteile dann nicht über die Börse verkauft? Der Grund ist die Sensitivität des Börsenpreises gegenüber großen Ordervolumina. Diese verzerren den Handel und können schnell zu noch höheren auf bzw. abschlägen führen.Die Preise für große Ordervolumina sind nie einfach nur Marktpreis mal Stückzahl:,sondern verhalten sich oft nicht-linear:.Dieses Phänomen kann man auch gut am Anleihe und Währungsmarkt beobachten. Diese Märkte sind oft deutlich liquider, dennoch gibt es beim Marktdatenabieter Bloomberg die Möglichkeit über die Funktion BGNE sich ausführbare FX Quotierungen anzeigen zu lassen. Diese werden von der Funktion nach dem Volumen in verschiedene Körber (volume-buckets) sortiert. Für diese Körbe gibt es dann einen indikativen Preis. Es ist regelmäßig der Fall, dass für große Volumina ein andere Preis quotiert wird als für kleine Volumina, auch wenn es sich nur um kleine Differenzen handelt. Kleinvieh macht eben halt auch .... .
- Handelt es sich bei dem Produkt um Zahlungsströme die fest für die Zukunft vereinbart sind? Bei Aktien gibt es keine fest für die Zukunft vereinbarten Zahlungsströme. In manchen Fällen gehen aber Marktteilnehmer fest von Dividenden für die nächsten Jahre aus. Da solche Zahlungen aber nicht vertraglich festgelegt sind und sich auch nicht vor Gericht einklagen lassen, ist sowohl der Termin, die Höhe als auch existenz der zukünftigen Ausschüttung ungewiss. Im Vergleich dazu bieten Anleihe vertraglich fest vereinbarte und auch einklagbare Zahlungen an. Auch hier sind diese Zahlungen ungewiss, da in der Zwischenzeit eine Insolvenz der Firma drohen könnte, aber diese Ungewissheit ist deutlich geringer als bei Dividenden. Manche Anleihen binden die Zahlungsströme an Ereignisse oder an entscheidungen des Unternehmens. Ein Beispiel ist das oft eingeräumte Recht einer Firma Anleihen verführt zurückzuzahlen. In diesem Fall muss die Optionalität der Zahlungen mit Eingang in die Bewertung finden.
- Handelt es sich bei dem Produkt um Zahlungsströme die fest für die Zukunft vereinbart sind? Bei Aktien gibt es keine fest für die Zukunft vereinbarten Zahlungsströme. In manchen Fällen gehen aber Marktteilnehmer fest von Dividenden für die nächsten Jahre aus. Da solche Zahlungen aber nicht vertraglich festgelegt sind und sich auch nicht vor Gericht einklagen lassen, ist sowohl der Termin, die Höhe als auch existenz der zukünftigen Ausschüttung ungewiss. Im Vergleich dazu bieten Anleihe vertraglich fest vereinbarte und auch einklagbare Zahlungen an. Auch hier sind diese Zahlungen ungewiss, da in der Zwischenzeit eine Insolvenz der Firma drohen könnte, aber diese Ungewissheit ist deutlich geringer als bei Dividenden. Manche Anleihen binden die Zahlungsströme an Ereignisse oder an entscheidungen des Unternehmens. Ein Beispiel ist das oft eingeräumte Recht einer Firma Anleihen verführt zurückzuzahlen. In diesem Fall muss die Optionalität der Zahlungen mit Eingang in die Bewertung finden.
Beispiel einfacherer Diskontierung - Risikofreie Null-Koupon Anleihe
Um die Diskontierungsmethode zu illustrieren, treffen wir einige Annahmen:
- Wir betrachten die Zahlungsströme eines einzelnen Cash-Flow Instruments. In diesem Fall einer Anleihe und gehen davon aus, dass es nur einen Martkpreis gibt, eben den Marktpreis dieser Anleihe.
- Die Zahlungsströme sind unkonditionell. Wir können gehen davon aus, dass wir alle Cash-Flows exakt zum vereinbarten Termin erhalten. Es handelt sich hier um ein risikofreies Instrument. Weiterhin gibt es keine weiteren vertraglichen Details die die Auszahlung von Cash-Flows an bestimmte Vorraussetzungen knüpfen (keine Optionalität).
| Parameter | Wert |
|---|---|
Es handelt sich also hier um eine Null-Koupon Anleihe welche folgendes Auszahlungsprofil hat:
| Parameter | Wert |
|---|---|
Nur ein Cash-Flow liegt in der Zukunft. Ziel der Übung ist es den Cash-Flow zu bewerten. Zunächst sei unterstellt, dass wir davon ausgehen, dass der Anleihe eine Rendite von i zugrundeliegt. Diese Rendite heißt auch Null-Koupon Rendite (ZC-yield). Diese Rendite ist ein Marktparameter und hat zunächst einmal nichts mit dem Zinssatz auf der Anleihe zu tun.
Wie funktionieren Renditen? Das kennen wir schon vom Sparbuch. Ein Kapitalbetrag K hat eine Rendite i, wenn nach einer Gewissen Zeit t folgender Kapitalbetrag da ist: K\cdot f(i,t). f ist zunächst eine Funktion, welche wir auch Renditekonvention bzw. Yield Convention nennen. Folgende Konventionen sind üblich:
- Kontinuierliche Verzinsung (EXP): f(i,t) = \exp(i (t-t_0)).
- Diskrete Verzinsung (YLD): f(i,t) = (1+i)^(t-t_0).
Die Zeit (t-t_0) ist hierbei in der Regel die Zahl der Tage über die der Zins wirkt geteilt durch die Anzahl der Tage in einer Periode. Dies ist in den obigen Konventionen noch nicht festgelegt. Man nennt dies auch Day-Count Fraction. Hier gibt es viele übliche Varianten:
- ACT/365: ACT heißt: Actuals. Also die Anzahl der Kalendertage in einer Periode. Diese werden immer durch 365 geteilt. Ist die Periode ein Jahr und liegt ein Schalttag in der Periode, so ist die Day-Count Fraction ein Bruch größer 1. Dies ist die übliche Day-Count Fraction bei Bewertungen.
- ACT/360: Dasselbe wie ACT/365 aber die Zeit wird immer durch 360 geteilt.
- BUS/252: Hier zählt nur die Anzahl der Bankarbeitstage in einer Periode. Geteilt wird immer durch 252. Relevant ist hier ein Feiertagskalender der Hinterlegt werden muss.
- ...
Es gibt extrem viele Day-Count Fractions, welche ein einem anderen Blogbeitrag genauer erklärt werden. Zur Einfachheit verwenden wir die kontinuierliche Verzinsung mit ACT/365. Das heßt wir werden unsere Null-Koupon Rendite i in der Konvention f(i,t)=\exp(i frac{(t-t_0)}{365}) angeben. t_0 ist der heutige Tag bzw. der sogenannte Bewertungstag. Alle Tage nach t_0 liegen in der Zukunft. Alle Tage vor t_0 liegen in der Vergangenheit. Cash-Flows in der Vergangenheit sind nicht Bewertungsrelevant. Cash-Flows in der Zukunft und für der Bewertungstag sind Bewertungsrelevant.
Zurück zu unserer Anleihe. Wir haben nur einen Cash-Flow in der Zukunft und das ist das Nominal der Anleihe dessen Zahlungstermin t ist. Der Bewertungsstichtag ist t_0 und demzufolge ist die Zeitdifferenz t-t_0 und die Day-Count Fraction ist (t-t_0)/365. Dieser Cash-Flow kommt allerdings erst in der Zukunft. Bei der Bewertung stellt sich also die Frage: Was sind Cash-Flows aus der Zukunft heute Wert?
Wir haben ja schon angenommen, dass unsere Anleihe eine Null-Koupon Rendite von i hat. Wenn wir also sagen können, dass ein Kapitalbetrag K den wir heute haben mit i verzinst den Betrag N zum Zeitpunkt t ergibt. So ist K der Wert von N bei einer Rendite von i über folgende Beziehung:
K exp(i (t-t_0)/365) = N
K = N exp( - i (t-t_0)/365)
:
Wir haben einen Term den wir Diskontfaktor nennen: d. Dieser ist hier d = exp(i (t-t_0)/365). Wir müssen also in der ersten Gleichung durch d teilen. Unsere Verzinsung setzt einen heutigen Kapitalwert K mit einen zukünftigen Kapitalwert N in Beziehung. Wichtig zu wissen ist, dass 1 / d = 1 / exp(i (t-t_0)/365) = exp( - i (t - t_0) / 365). Dies ist eine nützliche Beziehung welche der Grund ist, dass wir die Konvention EXP(ACT/365) nutzen.
In der realen Welt haben wir oft sowohl den zukünftigen Cash-Flow gegeben, als auch einen Marktpreis M. Marktteilnehmer sind also Bereit M zu bezahlen um einen zukünftigen Cash-Flow K zu erhalten. M nimmt dabei die Stelle von K ein. Einige Marktteilnehmer haben einen Kapitalbetrag K den sie bereit sind zu tauschen gegen N. K ist also der heutige Marktwert für den zukünftigen Cash-Flow N. Durch umstellen der obigen Formeln können wir aus N und K die implizite Rendite ermitteln. Implizite Rendita? Genau! Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Marktteilnehmer die Rendite i kennen. Sie verhalten sich aber umgekehrt. Am Markt wird ständig der Wert zukünftiger Zahlungsströme verhandelt und dieser Wert impliziert eine vom Markt unterstellte Rendite:
i = ln (N / K) * 365 / (t - t_0)
In der folgenden Applikation könnt ihr mit dem Marktwert oder der Rendite einer Nullkoupananleihe experimentieren und sehen wie sie sich verhalten.
Zinskurven Bootstrapping mit mehreren festverzinslichen Anleihen
Wir haben nun gesehen wie wir aus der Kombination des Auszahlungsprofils einer Nullkouponanleihe und deren Marktpreis einen Diskontfaktor berechnen. In der Regel haben wir allerdings die Situation vorliegen, dass wir mehrere Anleihen unterschiedlicher Laufzeit haben, welche nicht nur eine Zahlung am Ende der Laufzeit haben, sondern auch Zinszahlungen zwischendurch.
Hier wird die Prozedur jetzt etwas schwieriger. Im vorherigen Beispiel waren die die Begriffe Rendite und Nullkouponrendite (ZC yield) identisch. Nun sind sie es nicht mehr. Sprechen wir von der Rendite einer Anleihe, so betrachten wir die Anleihe mitsamt ihrer Cash-Flows. Die Nullkouponrendite ist die Rendite eines einzelnen Cash-Flows.
Haben wir jetzt mehrere Anleihen mit unterschiedlichen Marktpreisen, so müssen wir davon ausgehen, dass zu unterschiedlichen Zeitpunkten in der Zukunft unterschiedliche Nullkouponrenditen anzuwenden sind. Die ZC yield wird jetzt abhängig von der Restlaufzeit \tau.
Ziel ist es nur eine Funktion i(\tau) in einer Renditekonvention f so zu bestimmen, dass die Marktwerte eine Anleihe getroffen werden. Wichtig hierbei ist, dass wir bei m Anleihen mehr als m Zahlungsströme haben werden. Da aber nur ein einzelner Preis für die Anleihen zur Verfügung steht, so ist das Problem eigentlich unterbestimmt. Zunächst aber mal die förmliche Problembeschreibung:
M_i := \sum_{j=1}^{r_i} C_j f(i(\tau_j), \tau_j)
Wir haben m Anleihen mit Marktwerten M_i. Jede der Anleihen hat ein Zahlungsprofil von Cash-Flows C_j zum Zeitpunkt \tau_j.
Wichtig ist nun, dass noch eine Annahme für die Struktur von i(\tau) getroffen wird. Wir gehen hier von einer stückweisen linearen Funktion aus, die Stützstellen am Laufzeitende der Anleihen hat, also zu \tau_{r_i}. Dies ist eine in vielen Fällen sinnvolle Annahme. es gibt aber andere Fälle wo dies vielleicht nicht so sinnvoll ist. Die genauen Festlegungen von i sind best practices. In jedem Fall ist i eine Funktion von Strukturparametern \theta_1, ..., \theta_n wobei n\leq m ist.
Ziel der Übung ist es die Parameter so zu wählen, dass die summe der diskontierten Cash-Flows den Marktwert trifft. Hierfür kann zum Beispiel der Gradient Descent Algorithmus eingesetzt werden.